სავარჯიშო 5.4.2.

განვიხილოთ $\mathbb R^2$  სიმრავლე ბუნებრივი ტოპოლოგიით (იხ. 4.9.4). იპოვეთ $A\subset \mathbb R^2$ სიმრავლის საზღვარი, წარმოებული $A^d$ სიმრავლე და $A$ -ს ყველა იზოლირებულ წერტილთა სიმრავლე, თუ:

ა) $A = B(a, r)$ სადაც $B(a, r) = \left\{ (x_1, x_2)\in \mathbb R^2 \mid \sqrt{(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2}<r\right\}$ არის $a=(a_1; a_2)\in \mathbb R^2$ ცენტრისა და $r$ (R\IN \mathbb R, r>0)  რადიუსის მქონე ღია წრეა;

ბ) $A = bar{B(a, r)}$ სადაც $B(a, r) = \left\{ (x_1, x_2)\in \mathbb R^2 \mid \sqrt{(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2}<r\right\}$ არის $a=(a_1; a_2)\in \mathbb R^2$ ცენტრისა და $r$ (R\IN \mathbb R, r>0) რადიუსის მქონე ჩაკეტილი წრეა;

გ) $A$ არი $\mathbb R^2$-ის ყველა იმ წერტილთა სიმრავლე, რომელთა ორივე კოორდინატი მთელი რიცხვია;

დ) $A$ არი $\mathbb R^2$-ის ყველა იმ წერტილთა სიმრავლე, რომელთა ორივე კოორდინატი რაციონალური რიცხვია;

ე) $A$ არი $\mathbb R^2$-ის ყველა იმ წერტილთა სიმრავლე, რომელთა მეორე კოორდინატი მთელი რიცხვია;

ვ) $A=\bigcup_{r\in \mathbb R, r>0}S^1(a, r)$, სადაც ყოველი $a=(a_1; a_2)\mathbb R^2$-სათვის და ყოველი დადებითი $r\in \mathbb R$ ნამდვილი რიცხვისთვის $S^1(a, r)$ -ით აღნიშნულია წრეწირი ცენტრით $a$ წერტილში და რადიუსით $r$ \[S^1(a, r) = \left\{(x_1; x_2)\in \mathbb R\mid \sqrt{(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2}=r\right\};\]
ზ) $A=\bigcup_{r\in \mathbb R, r>0}S^1(a, r)$, სადაც ყოველი $a=(a_1; a_2)\mathbb R^2$-სათვის და ყოველი დადებითი $r\in \mathbb Q$ რაციონალური რიცხვისთვის $S^1(a, r)$ -ით აღნიშნულია წრეწირი ცენტრით $a$ წერტილში და რადიუსით $r$ \[S^1(a, r) = \left\{(x_1; x_2)\in \mathbb R\mid \sqrt{(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2}=r\right\};\]
თ)  $A=\bigcup_{r\in \mathbb R, 0<r<1}S^1(a, r)$;

ი) $ A=\left\{(0;n)\mid n\in \mathbb Z\right\} \cup \left\{(x;y)\in \mathbb R^2\mid x>0, 0< y< 1\right\} $.