|
|
Post by Evgeny on May 13, 2022 15:07:21 GMT 4
ა) შეამოწმეთ, რომ $\mathbb{R}$-ის ქვესიმრავლეთა \[\mathcal B =\{(a, +\infty)\mid a\in \mathbb R\}\] ოჯახი აკმაყოფილებს თეორემა 4.3.3-ის (B1) და (B2) პირობებს და მაშასადამე, თეორემა 4.3.4-ის თანახმად, წარმოადგენს გარკვეული $\tau$ ტოპოლოგიის ბაზისს $\mathbb R$-ზე. - $(\mathbb R, \tau)$ ტოპოლოგიური სივრცე აღვნიშნოთ $\mathbb R^{\to}$ სიმბოლოთი.
ბ) იპოვეთ $\mathbb R^{\to}$ ტოპოლოგიური სივრცის შემდეგი თერთმეტი ქვესიმრავლიდან თითოეულის ჩაკეტვა და ინტერიერი: $\emptyset$, $(0;1)$, $[0;1)$, $(0;1]$, $[0;1]$, $(0;1)\cup (1;2)$, $\mathbb N$, $\left \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots \right\}$, $\mathbb Q$, $\mathbb R\setminus \mathbb Q$, $\mathbb R$.
|
|
aleksandretchagalidz
სრული წევრი
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Posts: 130
|
Post by aleksandretchagalidz on May 14, 2022 3:44:57 GMT 4
ა) I)$\mathcal{B}$ არის დაფარვა, მართლაც $\forall x \in \mathbb{R}: x \in (x-1,+\infty) \in \mathcal{B}$
II)ბაზისის ორი ელემენტის თანაკვეთად პირდაპირ შეგვიძლია ავიღოთ უფრო მარჯვენა. უფროსწორად კი: $(a,+\infty) \cap (b,+\infty) = (max(a,b),+\infty)$
ბ)$\emptyset$ და $\mathbb{R}$ ცხადია არის ღია-ჩაკეტილი სიმრავლეები. მაშასადამე $Cl(\emptyset)=Int(\emptyset)=\emptyset$. და $Cl(\mathbb{R})=Int(\mathbb{R})=\mathbb{R}$.
ეს განსაკუთრებული შემთხვევებია. გასაგებია, რომ ვერცერთი სასრული ინტერვალი (შემოსაზღვრული იგულისხმება) ვერ შეიცავს ჩემი ბაზისის ელემენტებს. ანალოგიურის თქმა შეიძლება ნატურალურ რიცხვებზე, $1/n$ მიმდევრობაზე, რაციონალრუებზე და ირაციონალურებზე. (დეტალურად ჯგუფში დავამტკიცე, რომ ნებისმიერი ინტერვალი შეიცავს რაციონალურ/ირაციონალურ რიცხვებს გარკვეულწილად (უფრო ვრცლად რომ ვთქვათ შესაბამისად თვლადი და კონტინუუმი გვექნება)... ანუ ყოველ ამ ჯერზე (გარდა ბოლოსა) ვღებულობთ $Int$-ად ცარიელ სიმრავლეს. ჩაკეტვაზე უკვე სხვანაირად გვაქვს:
$Cl((0;1))=(-\infty ; 1]$. (ცხადია ეს სიმრავლე ჩაკეტილია, რადგან მისი დამატება ბაზისში გვაქვს. ასევე უფრო მარცხნივ ვეღარ წავალთ. იგივე პასუხი გვიჯდება შემდეგ 3 ინტერვალზე). $Cl((0;1)\cup(1;2))=(-\infty; 2]$. $Cl \{1,0.5,...,1/n,...\}=(-\infty; 1].$(რეალურად არ აქვს მნიშვნელობა ჩვენი მიმდევრობა მარცხნივ საით მიისწრაფვის. მთავარია როგორც ხედავთ სუპრემუმი!). ნატურალურ, რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვთა ჩაკეტვა კი ცხადია იქნება ისევ $\mathbb{R}$. რაც უშუალოდ იქიდან გამომდინარეობს, რომ ეს სიმრავლეები არ არის შემოსაზღვრული ზემოდან.
|
|
