|
|
Post by Evgeny on May 13, 2022 14:59:45 GMT 4
განვიხილოთ ნამდვილ რიცხვთა $\mathbb R$ სიმრავლე. ყოველი $x\in \mathbb R$-სთვის და ყოველი $r>0$ რაციონალური რიცხვისათვის განვიხილოთ ნახევრად ღია ინტერვალი: \[[x; x+r) = \{t\in \mathbb R \mid x\leq t< x+r\}.\] ყოველი $x\in \mathbb R$-სათვის $\mathcal{B}(x)$-ით აღვნიშნოთ ყველა ასეთ ნახევრად ღია ინტერვალთა ოჯახი: \[\mathcal{B}(x)=\left\{[x;x+r)\mid r\in \mathbb Q, r>0\right\}.\] - შეამოწმეთ, რომ სიმრავლეთა $\{U\mid U\in \mathcal{B}(x), x\in \mathbb R\}$ ოჯახი აკმაყოფილებს თეორემა 4.4.5-ის(BP1), (BP2) და (BP3) პირობებს
საიდანაც თეორემა 4.4.6-ის საფუძველზე დავასკვნით, რომ $\mathbb R$ სიმრავლის ყველა ისეთ $O$ ქვესიმრავლეთა ოჯახი, რომელთაგან თითოეულის ყოველი $x$-სათვის არსებობს ისეთი $U\in \mathcal{B}(x)$ რომ $U\subset O$ წარმოადგენს გარკვეულ $\tau_S$ ტოპოლოგიას $\mathbb R$-ზე და ყოველი $x\in \mathbb R$ -სათვის $\mathcal{B}(x)$ წარმოადგენს მიდამოთა ბაზისს $(\mathbb R, \tau_S)$ ტოპოლოგიური სივრცის $x$ წერტილში. ამ ტოპოლოგიურ სივრცეს ზორგენფრეის წრფეს უწოდებენ. |
|
aleksandretchagalidz
სრული წევრი
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Posts: 130
|
Post by aleksandretchagalidz on May 18, 2022 1:48:40 GMT 4
BP1. $\forall x\in \mathbb{R}: x \in [x; x+1) \rightarrow \mathcal{B}(x) \neq \emptyset$
BP2. ვთქვათ რომელიმე ელემენტი $\mathcal{B}(y)$-იდან მოიცავს $x$-ს. პირობითად: $x\in [y; y+r):= B\in \mathcal{B}(x) \leftrightarrow y\leq x <y+r$. საიდანაც მარტივად შემიძლია დავწერო, რომ $x \in [x; x+\frac{1}{n})\subset B$. (აქ $n$ ისეთი ნატურალური რიცხვია, რომ $\frac{1}{n}<y-x+r$. ასეთი ცხადია მოიძებნება, რადგან ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე არ არის შემოსაზღვრული.). მაგრამ $[x;x+\frac{1}{n}) \in \mathcal{B}(x)$ რადგან $\frac{1}{n} \in \mathbb{Q}$
BP3.თანაკვეთად შეგვიძლია ავიღოთ უფრო მცირე. კერძოდ: $[x; x+r_1) \cap [x; x+r_2)=[x; x+min(r_1,r_2))\in \mathcal{B}(x) $
|
|
