Post by Evgeny on May 13, 2022 14:42:46 GMT 4
ვთქვათ, $X$ – ნებისმიერი უსასრულო სიმრავლეა და $x_0$ – ამ სიმრავლის რაიმე წერტილია. განვიხილოთ $X$ სიმრავლის ქვესიმრავლეთა შემდეგი ოჯახი:
\[\tau = \{O\subset X \mid x_0\not\in O ~\text{ან } X\setminus O ~\text{სიმრავლე სასრულია}\}.\]
ა) შეამოწმეთ, რომ $\tau$ – ტოპოლოგიაა $X$ -ზე.
ბ) შეამოწმეთ, რომ ყოველი $x\in X$-სათვის, სადაც $x\not= x_0$, ერთწერტილიანი სიმრავლე $\{x\}$ არის ღია-ჩაკეტილი $X_{x_0}$-ში.
გ) შეამოწმეთ, რომ სიმრავლე $\{x_0\}$ ჩაკეტილია, მაგრამ არ არის ღია $X_{x_0}$-ში.
დ) შეამოწმეთ, $X_{x_0}$ რომ ტოპოლოგიური სივრცის ყოველი $A$ ქვესიმრავლისათვის: \[\bar{A}=\begin{cases}A,&~\text{თუ } A~\text{სასრულია };\\A\cup \{x_0\},&~\text{თუ } A~\text{უსასრულოა } \end{cases},\] და \[Int A=\begin{cases}A,&~\text{თუ } X\setminus A~\text{სასრულია};\\A\setminus \{x_0\},&~\text{თუ } X\setminus A~\text{უსასრულოა } \end{cases}.\]
ე) შეამოწმეთ, რომ $X_{x_0}$ ტოპოლოგიური სივრცის ყოველი ორი ჩაკეტილი უსასრულო ქვესიმრავლის თანაკვეთა არაცარიელია.
ვ) ვთქვათ, $X=\mathbb R$, $x_0 = 0$, და $\tau$ აქ აღწერილი ტოპოლოგიაა $X=\mathbb R$ -ზე (იხ. 4.10.11 ა)). იპოვეთ ტოპოლოგიური სივრცის შემდეგი თოთხმეტი ქვესიმრავლიდან თითოეულის ჩაკეტვა და ინტერიერი:
$\emptyset$, $(0;1)$, $[0;1)$, $(0;1]$, $[0;1]$, $(0;1)\cup (1;2)$, $\mathbb R\setminus \{0\}$, $\mathbb R\setminus \{1, 2, 3\}$, $\mathbb R\setminus \mathbb N$, $\mathbb N$, $\left \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots \right\}$, $\mathbb Q$, $\mathbb R\setminus \mathbb Q$, $\mathbb R$.
\[\tau = \{O\subset X \mid x_0\not\in O ~\text{ან } X\setminus O ~\text{სიმრავლე სასრულია}\}.\]
ა) შეამოწმეთ, რომ $\tau$ – ტოპოლოგიაა $X$ -ზე.
- თუ $X$ – რაიმე უსასრულო სიმრავლეა და $x_0$ – ამ სიმრავლის რაიმე წერტილია, აქ აღწერილი $(X , \tau)$ ტოპოლოგიური სივრცე აღვნიშნოთ $X_{x_0}$ სიმბოლოთი.
ბ) შეამოწმეთ, რომ ყოველი $x\in X$-სათვის, სადაც $x\not= x_0$, ერთწერტილიანი სიმრავლე $\{x\}$ არის ღია-ჩაკეტილი $X_{x_0}$-ში.
გ) შეამოწმეთ, რომ სიმრავლე $\{x_0\}$ ჩაკეტილია, მაგრამ არ არის ღია $X_{x_0}$-ში.
დ) შეამოწმეთ, $X_{x_0}$ რომ ტოპოლოგიური სივრცის ყოველი $A$ ქვესიმრავლისათვის: \[\bar{A}=\begin{cases}A,&~\text{თუ } A~\text{სასრულია };\\A\cup \{x_0\},&~\text{თუ } A~\text{უსასრულოა } \end{cases},\] და \[Int A=\begin{cases}A,&~\text{თუ } X\setminus A~\text{სასრულია};\\A\setminus \{x_0\},&~\text{თუ } X\setminus A~\text{უსასრულოა } \end{cases}.\]
ე) შეამოწმეთ, რომ $X_{x_0}$ ტოპოლოგიური სივრცის ყოველი ორი ჩაკეტილი უსასრულო ქვესიმრავლის თანაკვეთა არაცარიელია.
ვ) ვთქვათ, $X=\mathbb R$, $x_0 = 0$, და $\tau$ აქ აღწერილი ტოპოლოგიაა $X=\mathbb R$ -ზე (იხ. 4.10.11 ა)). იპოვეთ ტოპოლოგიური სივრცის შემდეგი თოთხმეტი ქვესიმრავლიდან თითოეულის ჩაკეტვა და ინტერიერი:
$\emptyset$, $(0;1)$, $[0;1)$, $(0;1]$, $[0;1]$, $(0;1)\cup (1;2)$, $\mathbb R\setminus \{0\}$, $\mathbb R\setminus \{1, 2, 3\}$, $\mathbb R\setminus \mathbb N$, $\mathbb N$, $\left \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots \right\}$, $\mathbb Q$, $\mathbb R\setminus \mathbb Q$, $\mathbb R$.