სავარჯიშო 4.9.12

O1-O2: ცარიელი სიმრავლე ნებისმიერის ქვესიმრავლეა. მეორე პირობისთვის შეგვიძლია ავიღოთ თავად $\emptyset \in \tau$;
$M \subset M$. ასევე $M \subset X \cap M$ (მეტიც აქ ტოლობა გვაქვს) თავის მხრივ $X \in \tau$.
O3:ვთქვათ მაქვს სიმრავლეთა რაიმე სისტემა $\{O_i\}_{i \in I}, \forall i \in I: O_i \in M$. მინდა დავამტკიცო, რომ $\bigcup_ {i \in I} U_i \in M$.
პირობის თანახმად: $\forall i \in I \exists O'_i \in \tau: O_i=O'_i \cap M$ მაშინ $\bigcup_ {i \in I} U_i \in \bigcup {I\in i} (O'_i \cap M)=(\bigcup_{I\in i} O')\cap M$. მაგრამ $\bigcup {I\in i} O'_i \in \tau$ რადგან ღია სიმრავლეთა გაერთიანება ისევ ღიაა. (ამ შემთხვევაში ღია $\tau$ს მიმართებით.)
O4:$O_1=O'\cap M, O_2=O' \cap M \rightarrow O_1 \cap O_2 = (O_1 \cap M) \cap (O_2 \cap M) = (O_1 \cap O_2 ) \cap M.$ მაგრამ ორი ღია სიმრავლის (ანალოგიურად $\tau$-ს განვიხილავთ ჩვენთან) თანაკვეთა ისევ ღიაა. მაშასადამე $O_1 \cap O_2 \in \tau$ რ.დ.გ.