Post by Evgeny on May 10, 2022 14:45:47 GMT 4
შესაბამისი განმარტებები იხილეთ მასალაში (სავარჯიშო 4.9.16).
ა) მოიყვანეთ ისეთი ტოპოლოგიური სივრცის მაგალითი, რომელის არ არის ანტიდისკრეტული და არ აკმაყოფილებს განცალების $T_0$ აქსიპომას.
ბ) განვიხილოთ ორ ელემენტიანი $\{ a, b\}$ a b სივრცე, რომლის ღია ქვესიმრავლეებია მხოლოდ $\emptyset$ ,$ \{a\}$ და $\{ a, b\}$. შეამოწმეთ, რომ ეს სივრცე არის $T_0$ მაგრამ არ არის $T_1$ სივრცე.
ბ) განვიხილოთ ნებისმიერი უსასრულო $X$ სიმრავლე. შემოვიღოთ ამ სიმრავლეზე ტოპოლოგია შემდეგი წესის მიხედვით:
$O$ სიმრავლე გამოვაცხადოთ ღია სიმრავლედ მაშინ და მხოლოდ მაშინ, თუ $O = \emptyset$ , $O = X$ ან თუ $O$ -ს დამატება $X$ -მდე $(X\setminus O )$ სასრული სიმრავლეა.
შეამოწმეთ, რომ ეს მართლაც ტოპოლოგიაა $X$ -ზე და რომ ეს ტოპოლოგიური სივრცე აკმაყოფილებს განცალების $T_1$ აქსიომას, მაგრამ არ არის ჰაუსდორფის.
გ) დაამტკიცეთ, რომ $X$ ტოპოლოგიური სივრცე აკმაყოფილებს განცალების $T$ აქსიომას მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ყოველი $x\in X$ წერტილისათვის ერთწერტილიანი $\{x\}$ სიმრავლე ჩაკეტილია $X$ -ში.
ა) მოიყვანეთ ისეთი ტოპოლოგიური სივრცის მაგალითი, რომელის არ არის ანტიდისკრეტული და არ აკმაყოფილებს განცალების $T_0$ აქსიპომას.
ბ) განვიხილოთ ორ ელემენტიანი $\{ a, b\}$ a b სივრცე, რომლის ღია ქვესიმრავლეებია მხოლოდ $\emptyset$ ,$ \{a\}$ და $\{ a, b\}$. შეამოწმეთ, რომ ეს სივრცე არის $T_0$ მაგრამ არ არის $T_1$ სივრცე.
ბ) განვიხილოთ ნებისმიერი უსასრულო $X$ სიმრავლე. შემოვიღოთ ამ სიმრავლეზე ტოპოლოგია შემდეგი წესის მიხედვით:
$O$ სიმრავლე გამოვაცხადოთ ღია სიმრავლედ მაშინ და მხოლოდ მაშინ, თუ $O = \emptyset$ , $O = X$ ან თუ $O$ -ს დამატება $X$ -მდე $(X\setminus O )$ სასრული სიმრავლეა.
შეამოწმეთ, რომ ეს მართლაც ტოპოლოგიაა $X$ -ზე და რომ ეს ტოპოლოგიური სივრცე აკმაყოფილებს განცალების $T_1$ აქსიომას, მაგრამ არ არის ჰაუსდორფის.
გ) დაამტკიცეთ, რომ $X$ ტოპოლოგიური სივრცე აკმაყოფილებს განცალების $T$ აქსიომას მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ყოველი $x\in X$ წერტილისათვის ერთწერტილიანი $\{x\}$ სიმრავლე ჩაკეტილია $X$ -ში.
